指数関数の導関数～累乗根の入った関数～

著者名： OKボーイ

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はじめに

ここでは、累乗根の入った指数関数の導関数の求め方についてみていきましょう。

累乗根の入った関数～基本～

$y= \sqrt[3]{x ^{2} }$ 　について微分をしてみましょう。

解答

$y= \sqrt[3]{x ^{2} }$ 　を変形すると
$y=x ^{ \frac{2}{3} }$ 　　　…①
と表すことができます。よって
$\acute{y}= \acute{\left(x ^{ \frac{2}{3} } \right)}$
$\acute{y}= \frac{2}{3} x ^{ \frac{2}{3} -1}$ 　　…②
$= \frac{2}{3} x ^{- \frac{1}{3} }$
$= \frac{2}{3 \sqrt[3]{x} }$

①と②の変形がうまくできるかがこの問題のカギですね。

累乗根の入った関数～アドバンス～

ではちょっと一歩進んだ問題にもチャレンジしてみましょう。

$y= \sqrt[4]{x ^{3} +1}$ 　はどうでしょう？

先ほどと同じように考えると
$y= \left(x ^{3} +1\right) ^{ \frac{1}{4} }$ 　　…③
となります。

ここで、 $x ^{3} +1=u$ 　とおくと③式は
$y=u ^{ \frac{1}{4} }$
$u=x ^{3} +1$

の２式からなる合成関数ということになります。
$\acute{y}= \frac{dy}{du} = \frac{1}{4} u ^{ \frac{1}{4} -1} = \frac{1}{4} u ^{- \frac{3}{4} }$
$\acute{u}= \frac{du}{dx} =3x ^{2}$
なので

$\acute{y}= \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{4} u ^{- \frac{1}{4} } \cdot 3x ^{2}$
$= \frac{\left(x ^{3} +1\right) ^{- \frac{1}{4} }}{4} \cdot 3x ^{2}$
$= \frac{3x ^{2} }{4 \sqrt[4]{x ^{3} +1} }$

「累乗根の導関数の導き方」、そして「合成関数の導関数の求め方」の合わせ技での解き方ですね。

・(sinx)'=cosxの証明

・(cos x)'=-sin xの証明

指数関数, 微分係数, 導関数, 合成関数,

『教科書　数学Ⅲ』　数研出版

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