接弦定理の証明

最後に、∠ＢＡＣが鈍角の場合を証明します。
四角形ＡＢＰＣについて考えてみます。



円に内接する四角形は、その対角の和が１８０°になるんでしたね。つまり
∠ＣＡＢ＋∠ＣＰＢ＝１８０°となります。
これを変形して　∠ＢＡＣ＝１８０°－∠ＣＰＢ　…④

一方で、∠ＣＢＤ'＋∠ＣＢＤ＝１８０°より、
∠ＣＢＤ＝１８０°－∠ＣＰＤ'　…⑤

ここで、∠ＢＡＣが鋭角のときの証明より
∠ＣＢＤ'＝∠ＣＰＢであることがわかっています（∠ＢＡＣが鈍角なので∠ＣＰＢは鋭角になりますね。）ので、⑤式は
∠ＣＢＤ＝１８０°－∠ＣＰＢとなります。　…⑥

④と⑥より∠ＢＡＣ＝∠ＣＢＤとなりますね。

以上のことから、接弦定理は、∠ＢＡＣがどのような角度であっても成り立つことがわかります。