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積分を使って面積を求める

著者名： OKボーイ

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斜線部分の面積を求めてみましょう

ここまで学んできた積分ですが、一体何の役に立つの？とお思いの方もいらっしゃるでしょう。次のような図形の面積を求めることができます。

ａ≦ｘ≦ｂの範囲で、つねにｆ(ｘ)≧０であるとき、斜線部の面積Ｓは
$S= \int_{a}^{b} f \left(x\right) dx$
で求めることができます。

■では次の問題を一緒に解きながら理解を深めていきましょう。

次のように、 $y=x^{2}+3$ 　（ｘの範囲が－１≦ｘ≦２）の斜線部分の面積Ｓを求めてみましょう。

$f(x)=x^{2}+3$ 　とすると、－１≦ｘ≦２の範囲において常にｆ(ｘ)＞０であることから先ほどの公式が使えます。
$S= \int_{-1}^{2} \left(x ^{2} +3\right) dx$ 　
$\int_{-1}^{2} \left(x ^{2} +3\right) dx= \left[ \frac{1}{3} x ^{3} +3x\right]_{-1}^{2}$
$= \frac{1}{3} \cdot 2 ^{3} +3 \cdot 2- \frac{1}{3} \left(-1\right) ^{3} +3 \cdot \left(-1\right)$
$= \frac{8}{3} +6+ \frac{1}{3} -3$
$=6$

Ｓ＝６　が答えとなります。

ポイント

ｆ(ｘ)≧０であれば　 $S= \int_{a}^{b} f \left(x\right) dx$

・積分２つの曲線の間の面積を求める公式の証明

・放物線とｘ軸とで囲まれた部分の面積

・積分曲線とx軸の間の面積を求める問題

・２つの曲線に囲まれた部分の面積

・積分面積を求める公式一覧

公式, 面積, インテグラル, 積分, 積分で面積を求める問題,

『教科書　数学Ⅱ』　数研出版

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