２つの曲線に囲まれた部分の面積

著者名： OKボーイ

２つの曲線に囲まれた部分の面積を求めてみましょう

図のように関数ｙ＝ｆ(x)とｙ＝ｇ(ｘ)、そしてｘ＝ａとｘ＝ｂで囲まれた図形の面積をＳとします。
ａ≦ｘ≦ｂの範囲でｇ(x)がつねにｆ(ｘ)より大きい、すなわちｇ(x)≧ｆ(ｘ)のとき
$S= \int_{a}^{b} \left(g \left(x\right) -f \left(x\right) \right) dx$
で表すことができます。

■問題

では、次の問題を一緒に解いて、理解を深めていきましょう。

$f(x)=x^{2}-2x+2$ 、 $g(x)=-x^{2}-2x-2$ 　のとき、 $x=-1$ 、 $x=1$ 　で囲まれる図形の面積Ｓを求めなさい

■まず、図を描いてみます

－１≦ｘ≦１の範囲で、常にｆ(ｘ)＞ｇ(ｘ)となりますので、先程の公式が使えます。

$S= \int_{-1}^{1} \left(f \left(x\right) -g \left(x\right) \right)dx$
$= \int_{-1}^{1} \left(x ^{2} -2x+2- \left(-x ^{2} -2x-2\right) \right)dx$
$= \int_{-1}^{1} \left(2x ^{2} +4\right) dx$
$= \left[ \frac{2}{3} x ^{3} +4x\right]_{-1}^{1}$
$= \frac{2}{3} \cdot 1 ^{3} +4 \cdot 1- \left( \frac{2}{3} \cdot \left(-1\right) ^{3} +4 \cdot \left(-1\right) \right)$
$= \frac{2}{3} +4- \left(- \frac{2}{3} -4\right)$
$= \frac{28}{3}$

となります。

ポイント

ａ≦ｘ≦ｂの範囲でf(x)≧g(x)のとき、
$S= \int_{a}^{b} \left(f \left(x\right) -g \left(x\right) \right) dx$

・積分放物線と直線で囲まれた図形の面積を求める公式の証明

・積分曲線とx軸の間の面積を求める問題

・積分２つの曲線の間の面積を求める公式の証明

・積分を使って面積を求める

・積分面積を求める公式一覧

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FTEXT

『教科書　数学Ⅱ』　数研出版

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