２つの曲線の間の面積を求める公式の証明
ここでは、２つの曲線の間の面積を求める公式の証明を行っていきます。まず、証明する公式を思い出しておきましょう。
グラフ上に、２つの曲線y＝f(x)とy＝g(x)があります。区間a≦x≦bにおいて、f(x)のグラフがg(x)のグラフよりも上にあるとき、y＝f(x)とy＝g(x)、x＝a、x＝bに囲まれた部分の面積Sは、
-g(x)\right} dx)
証明
まず、求める面積Sがどのような性質をもっているかを考えてみます。y＝f(x)、y＝g(x)、x＝a、x＝bに囲まれる上の図で赤く示した部分は、
このグレーのかかった部分(S1とします)から、
こちらのグレーのかかった部分(S2とします)をマイナスしたものであることがわかります。(
S＝S1−S2)。ということで、
S1とS2の面積を求めて引き算をしてみましょう。
■S1の面積
S1は、y＝f(x)、x＝a、x＝b、そしてx軸に囲まれています。a≦x≦bの範囲でy＝f(x)はx軸よりも
上にあることから、
dx)
■S2の面積
S2は、y＝g(x)、x＝a、x＝b、そしてx軸に囲まれています。a≦x≦bの範囲でy＝g(x)はx軸よりも
上にあることから、
dx)
■S1−S2
S1−S2をすると、
dx- \int_{a}^{b} g(x)dx)
定積分の公式より、
dx- \int_{a}^{b} g(x)dx= \int_{a}^{b} \left{f(x)-g(x)\right} dx)
となり、公式を導くことができました。
