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積分 / 積分：面積

放物線とｘ軸とで囲まれた部分の面積

著者名： OKボーイ

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放物線とｘ軸とで囲まれた部分の面積を求めてみましょう

図のように、 $y=x^{2}-4x$ 　…①　とｘ軸とで囲まれた部分の面積Ｓについて考えてみましょう。

■考え方

考え方としては、
$f(x)=0$
$g(x)=y=x^{2}-4x$ 　
の２つの曲線に囲まれた部分の面積を求めなさいと考えます。

■解法

図より①とｘ軸とが交わるのは、ｘ＝０、ｘ＝４のときです。
０≦ｘ≦４において、ｙ≦０であることから
$S=- \int_{0}^{4} \left(x ^{2} -4x\right) dx$ 　となります。

ｙ≦０のときは、インテグラルの前にマイナスがつくのが肝です。

$- \int_{0}^{4} \left(x ^{2} -4x\right) dx=- \left[ \frac{1}{3} x ^{3} -2x ^{2} \right]_{0}^{4}$
$= \left( \frac{1}{3} \cdot 4 ^{3} -2 \cdot 4 ^{2} - \frac{1}{3} \cdot 0 ^{3} -2 \cdot 0 ^{2} \right)$
$=- \left( \frac{64}{3} -32\right)$
$= \frac{32}{3}$

ポイント

ｙ≧０だと $S= \int_{a}^{b} f \left(x\right) dx$

ｙ≦０だと $S=- \int_{a}^{b} f \left(x\right) dx$

・積分面積を求める公式一覧

・積分２つの曲線の間の面積を求める公式の証明

・積分曲線とx軸の間の面積を求める問題

・積分を使って面積を求める

・積分放物線と直線で囲まれた図形の面積を求める公式の証明

面積, インテグラル, 積分, 積分で面積を求める問題,

『教科書　数学Ⅱ』　数研出版

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