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12_80 2次関数 / 2次関数とグラフ(定義域/値域)

2次関数「定義域が0≦x≦aのときの最大値を考える問題」

著者名: OKボーイ
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2次関数の定義域が 0≦x≦a

2次関数の最大最小値の問題で、定義域が変数で与えられている場合があります。

y=x²−4x+5
においてxの定義域が 0≦x≦aのときの最大値を求めなさい。




このような問題です。
一緒に解きながら説明していきましょう。

グラフをかく

まず、y=x²−4x+5のグラフを描いてみましょう。

y=x²−4x+5=(x−2)²+1
なので、グラフは次のようになります。
ALT


今回の問題で考えられるのは次の3パターンです。

1:a<4のとき

a<4のとき、yがとる値は左側のグラフの実線部分になります。
このとき最大値はx=0のとき、y=5となります。

a=4のとき

a=4のとき、yの最大値はy=5(x=0、4のとき)となります。

a>4のとき

a>4のとき、yがとる値は右側のグラフの実線部分になります。
a>4のとき、yの最大値はy=a²−4a+5(x=aのとき)となります。

yの最大値が、xの定義域によって変化するということを覚えておきましょう。

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・2次関数「定義域が0≦x≦aのときの最大値を考える問題」

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『教科書 数学Ⅰ』 数研出版

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