問題
２次関数"y＝x²−２x−２m＋１"が０≦x≦２の範囲でつねにy＜０となるような、定数mの範囲を求めてみましょう。
ポイント
条件を満たすのはどのようなグラフかを考える
解法
というわけで、条件を満たすのはどのようなグラフかを考えてみましょう。
まず"y＝x²−２x−２m＋１"を
平方完成します。
y＝x²−２x−２m＋１
y＝x²−２x＋１−２m
y＝(x−１)²−２m
つまりこの２次関数のグラフは、(１、−２m)を頂点とする下に凸な放物線を描くことがわかりました。このグラフが０≦x≦２の範囲でつねにy＜０となるためには、どのような放物線であればよいでしょうか。答えが次のグラフです。
x＝０のとき、そしてx＝２のときのyの値がそれぞれ負であれば、設問の条件を満たすことになります。
■x＝０のとき
x＝０のとき、yの値は
y＝０²−２・０−２m＋１
＝−２m＋１
これが負であればよいので
−２m＋１＜０
−２m＜−１
m＞１/２
■x＝２のとき
x＝２のとき、yの値は
y＝(２−１)²−２m
＝１−２m
これが負であればよいので
１−２m＜０
−２m＜−１
m＞１/２
たまたま先ほどと同じ範囲になりましたね。
以上のことから"m＞１/２"の範囲であれば、２次関数のグラフは条件を満たす放物線を描くことがわかります。
