2次関数の定義域と値域
問題
a>0である2次関数"y=ax²−4ax+4a+b"の定義域が−1≦x≦3のとき、その値域は−5≦y≦4です。このとき、定数aとbの値を求めてみましょう
2次関数の
定義域と
値域を使った問題ですね。
効率よく解くコツは、グラフをうまく使うことです。
解法
ということでまずはグラフを書いてみましょう。
a>0なので、グラフは下に凸な放物線を描くことになります。
"y=ax²−4ax+4a+b"を
平方完成すると
y=a(x²−4x+4)+b
y=a(x−2)²+b
なので、このグラフは(−2、b)を頂点とする下に凸なグラフとなります。
すべての数値がわかっているわけではないので、なんとなくの概念図でOKです。
このグラフをもとに、与えられた条件を考えていきます。
定義域が−1≦x≦3のときの値域をグラフから読み取ると
b≦y≦9a+b
となりますね。このことから
b=−5
9a+b=4
これを整理して
a=1
が求まります。正しいか確認するためには、a=1、b=−5を与えられた式に代入して、−1≦x≦3の範囲で値域がどうなるかをチェックしてみると良いでしょう。