２次関数のグラフとｘ軸の交点の数
関数ｙ＝ａｘ²＋ｂｘ＋ｃのグラフを描いたときに、ｘ軸と関数のグラフが交わる点がいくつあるか答えなさい。
このような問題について考えてみます。
「ｙ＝ａx²＋ｂｘ＋ｃのグラフを描いてｘ軸との交点の数を数える」というのが最も原始的なやり方です。しかしそれだと時間がかかりますし、ミスをする可能性も高くなります。
そのため手っ取り早く交点の数を調べるためには、
判別式と呼ばれる式を用います。
判別式って何？
判別式とは、関数
ｙ＝ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ
において、
ｂ²－４ａc
と表されるものです。判別式のことを略して"D"と書き、
Ｄ＝ｂ²－４ａｃ
と表します。判別式には次の性質があります。
Ｄ＞０のとき関数とｘ軸の交点は２つ
Ｄ＝０のとき関数とｘ軸の交点は１つ
Ｄ＜０のとき関数とｘ軸の交点はない
このように、判別式を計算することで交点の数を一瞬で求めることができます。
では実際にこの式が正しいか、一緒に問題を解いて確認してみましょう。
問題
関数ｙ＝ｘ²＋２ｘ－２について、ｘ軸との交点の数を求めなさい。
■判別式を用いる
関数
ｙ＝ｘ²＋２ｘ－２について判別式を用いると、
D＝２² －４ × １ × －２＝１２＞０
なので、理論上は交点が２つあるということになります。では実際にグラフを描いて確認してみましょう。
■グラフを描いてみる
ｙ＝ｘ²＋２ｘ－２を変形すると、
ｙ＝（ｘ＋１）²－４となります。
つまり、
(－１,－４)を頂点とする下に凸の放射線を描くということですね。この関数のグラフを描くと、次のようになります。
交点は２つですね。判別式で求めたのと同じ結果が出ました。
結論
２次関数とｘ軸との交点の数を求める場合には、判別式Ｄを用いると便利。
