このような問題について考えてみます。



「ｙ＝ａx²＋ｂｘ＋ｃのグラフを描いてｘ軸との交点の数を数える」というのが最も原始的なやり方です。しかしそれだと時間がかかりますし、ミスをする可能性も高くなります。

そのため手っ取り早く交点の数を調べるためには、判別式と呼ばれる式を用います。


判別式とは、関数

ｙ＝ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ

において、

ｂ²－４ａc

と表されるものです。判別式のことを略して"D"と書き、



と表します。判別式には次の性質があります。





このように、判別式を計算することで交点の数を一瞬で求めることができます。
では実際にこの式が正しいか、一緒に問題を解いて確認してみましょう。







関数ｙ＝ｘ²＋２ｘ－２について判別式を用いると、

D＝２² －４ × １ × －２＝１２＞０

なので、理論上は交点が２つあるということになります。では実際にグラフを描いて確認してみましょう。


ｙ＝ｘ²＋２ｘ－２を変形すると、

ｙ＝（ｘ＋１）²－４となります。

つまり、 (－１,－４)を頂点とする下に凸の放射線を描くということですね。この関数のグラフを描くと、次のようになります。




交点は２つですね。判別式で求めたのと同じ結果が出ました。