極値から関数の方程式求める
３次関数"f(x)＝x³−３x²＋４"の極値を求めなさい
これまで、このような形式の問題が出題されていました。
「
方程式から極値を求める問題」です。
このテキストでは、
３次関数"f(x)＝x³−ax²＋bx"が、x＝１のときに極大値４、x＝３のときに極小値０をとるような、aとbの値を求めなさい
という出題形式を見ていきます。
「
極値から方程式を求める問題」です。
極値から関数の方程式を求める問題は、解き方が決まっているので、パターンを覚えてしまいましょう。
＜問題＞
３次関数"f(x)＝x³−ax²＋bx"が、x＝１のときに極大値４、x＝３のときに極小値０をとるような、aとbの値を求めなさい
ステップ１：f'(x)を求める
まず、与えられた関数f(x)＝x³−ax²＋bx"をもとに、f'(x)を求めます。
f'(x)＝３x²−２ax＋b
ステップ２：xに代入
このステップ２が一番大切なポイントです。
x＝１のときに極大値４、x＝３のときに極小値０をとることから、
・f'(１)＝０
・f'(３)＝０
という式がたちます。ここがわからない人は、暗記でもかまいません。理解したいときは、「
方程式から極値を求める問題」をよく読み込んでみましょう。
ステップ３：方程式を解く
f'(１)＝０より、
３−２a＋b＝０
２a−b＝３ ー①
f'(３)＝０より
２７−６a＋b＝０
６a−b＝２７ ー②
①−②より
−４a＝−２４
a＝６
これを①に代入して、
１２−b＝３
b＝９
以上から、a＝６、b＝９がもとまりました。
これが正しいか確認するには、a＝６、b＝９を代入した式、
"f(x)＝x³−６x²＋９x"の増減表とグラフを書いてみましょう。
参考までに、増減表とグラフを記しておきます。
