増減表とは
"y＝f(x)"のグラフを書いたときに、xがどの値のときにyの値が増え始め、xがどの値のときにyの値が減り始めるのかを表した表のことを、
増減表といいます。
そしてyの値が増え始める、または減り始める境目を調べる為に、この単元でこれまで学習してきた微分を使います。
さて、まず教科書通りに書いてみましょう。その後に、なぜそのような解き方をするのかを解説していきます。
"y＝f(x)"というグラフの増減を調べると、次のことがいえます。
"f'(x)≦０"ならyの値は増える
"f'(x)＝０"がyの増減の境目となる
"f'(x)≧０"ならyの値は減る
そもそもf'(x)は接線の傾きを表しています。が、なんでその値でグラフの増減がわかるのでしょうか。その答えを説明するために、"y＝x²"のグラフを使って考えます。
例えばグラフの点Aや点Bでの接線の傾きは負ですが、このときグラフの
yの値は、xの値が大きくなればなるほど減っていきますね。一方で点Cや点Dでの接線の傾きは正で、このときのグラフの
yの値は、xの値が大きくなればなるほど増えていきます。このように、
グラフのyの値の増減と接線の傾きが正か負かは相関関係があります。
以上のことから増減表は、y＝f(x)の接線の傾き"f'(x)"が、どのタイミングで正になって、どのタイミングで負になるのかを表したものといえます。
