対数関数の最大と最小
ここでは、対数関数の最大値と最小値を求める問題についてみていきましょう。
問題
次の関数の最大値と最小値を求めなさい。また、そのときのxの値も求めなさい。
ｙ＝(ｌｏｇ₂ ｘ)²－６ｌｏｇ₂ ｘ＋６
ただし、"１≦x≦８"とする。
一見みがまえる問題ですが、次の３ステップで簡単に解く事ができます。
ステップ１
ｌｏｇₐｘ＝ｔとする
まず式を簡単にするために、"ｌｏｇ₂ｘ＝ｔ"とおいて与えられた式を考えてみましょう。与えられた式は、
ｙ＝(ｌｏｇ₂ ｘ)²－６ｌｏｇ₂ ｘ＋６
なのでこの式を、tを用いて表すと
ｙ＝ｔ²ー６ｔ＋６
ステップ２
ｔの範囲を考える
次に、ｔの範囲を求めていきます。
設問より、"１ ≦ ｘ ≦ ８"なので、
ｌｏｇ₂１ ≦ ｌｏｇ₂ ｘ ≦ ｌｏｇ₂８
であることがわかります。ここがわからない人は、
対数の大小比較をもう一度復習しておきましょう。
ｌｏｇ₂１＝０
ｌｏｇ₂８＝３
より、"
０ ≦ ｔ ≦ ３"であることがわかりました。
ステップ３
ステップ１とステップ２で求めた式を使って、２次関数の最大値最小値を求める感覚でグラフを書く
ステップ１とステップ２より、与えられた式は、
ｙ＝ｔ²ー６ｔ＋６ (０ ≦ ｔ ≦ ３)
となります。あとは数学１で学習した、
２次関数の最大値と最小値を求める問題のように、この式のグラフをかいてみましょう。
図より、ｔ＝０のときに最大値６、ｔ＝３のときに最小値－３と読み取れます。最後に、最大値と最小値はわかったので、このときのxの値を求めましょう。
■ｔ＝０
ｔ＝０ということは、
ｌｏｇ₂ ｘ＝０
すなわち、
ｘ＝１
■ｔ＝３
ｔ＝３ということは、
ｌｏｇ₂ ｘ＝３
すなわち
ｘ＝２³＝８
ここがわからない人は、
対数をもう１度基礎から学び直した方が理解がはかどると思います。
結論
以上のことから、与えられた式の最大値と最小値は、
最大値８（ｘ＝１）
最小値−３（ｘ＝８）
となります。
