不等式の領域を利用した証明問題

不等式の領域の考えを用いて証明をするという問題もあります。



領域を利用した証明問題は次のように解きます。

P："x²＋y²＜１"
Q："x²＋y²−２y−８＜０"

とするとこの問題は、「Pの範囲はQの範囲に含まれるかを証明しなさい」ということをきいています。ですのでまずは、２つの不等式を図示するところから始めましょう。


"x²＋y²＜１"の表す領域は次の青色がかかった部分です。




先ほどの図に、"x²＋y²−２y−８＜０"の表す領域を重ねてみます。
"x²＋y²−２y−８＝０"を変形すると、"x²＋(y−１)²＝３²"なので、下図のグレーの部分が"x²＋y²−２y−８＜０"の表す領域です。



この図を見るとPはQに含まれていることがわかりますね。よって「"x²＋y²＜１"ならば"x²＋y²−２y−８＜０"」であると言えます。