円と直線の共有点の個数
円と直線の共有点の座標を求める問題では、
円と直線の共有点の座標の求め方について確認をしました。ここでは、
円と直線の共有点の個数の求め方についてみていきましょう。
問題
円："x²＋y²＝２５" ー①
直線"x−y＋１＝０" ー②
の共有点の個数を求めてみましょう。
ステップ１
<２つの式を連立させてyを消去する>
②を変形すると"y＝x＋１"。これを①に代入します。
x²＋(x＋１)²＝２５
x²＋x²＋２x＋１＝２５
２x²＋２x−２４＝０
x²＋x−１２＝０ ー③
ステップ２
<③式の
判別式Dの値を求める>
判別式覚えていますか？
"ax²＋bx＋c＝０"という式があったとき、その判別式は"
D=b²−４ac"でしたね。
③の判別式は
D＝１²−４・１・(−１２)＝１＋４８＝４９
ステップ３
<判別式が０より大きいか、小さいかを調べる>
判別式の値の大きさで、共有点の個数がわかります。
| 判別式の値 | D>0 | D=0 | D<0 |
| 共有点の数 | ２個 | １個 | 共有点なし |
③の判別式は、"D＝４９＞０"なので、
共有点は２個となります。
実際に①と②の共有点の座標を調べてみても、(３，４)と(−４，−３)で交わることがわかりますね。
