外分点とは
mとnを異なる正の数とします。
図のように、線分ABの外に点Qがあり、"AQ：QB＝m：n"となるとき、
点Qは、線分ABをm：nに外分する
といいます。そして点Qのことを、
内外分点といいます。
外分点の座標を求める公式
数直線上の２つの点を、"A(a)、B(b)"とし、ABを"m：n"に外分する点を"Q(x)"としたとき、xの値を求める公式があります。
例えば、A(１)、B(５)で、線分ABを３：１に外分する点をQ(x)とすると、
"x＝７"となります。実際に数直線をかいてみると
AQの長さは、７−１＝６
BQの長さは、７−５＝２
"AQ：QB＝６：２＝３：１"となりますね。
公式の証明
では、この公式の証明をしていきましょう。
公式の証明には、次の２パターンを考えていきます。
・BがAよりも大きい場合(a＜b)
・AがBよりも大きい場合(a＞b)
BがAよりも大きい場合(a＜b)
"a＜b"ということは、数直線上の点"A、B、Q"の位置関係は図のようになります。
AQの長さは、AQ＝x−a
QBの長さは、QB＝x−b
AQ：QB＝m：nなので、
x−a：x−b＝m：n
n(x−a)＝m(x−b)
nx−na＝mx−mb
mx−nx＝−na＋mb
x(m−n)＝−na＋mb
AがBよりも大きい場合(a＞b)
"a＞b"ということは、数直線上の点"A、B、Q"の位置関係は図のようになります。
AQの長さは、AQ＝a−x
QBの長さは、QB＝b−x
AQ：QB＝m：nなので、
a−x：b−x＝m：n
n(a−x)＝m(b−x)
na−nx＝mb−mx
mx−nx＝−na＋mb
x(m−n)＝−na＋mb
ちなみに外分点では、m＝nとなることはありません。
