内分点の公式とその証明[数直線上]

mとnを異なる正の数とします。
図のように、線分AB上に点Pがあり、"AP：PB＝m：n"となるとき、



といいます。そして点Pのことを、内分点といいます。




数直線上の２つの点を、"A(a)、B(b)"とし、ABを"m：n"に内分する点を"P(x)"としたとき、xの値を求める公式があります。



例えば、A(１)、B(６)で、線分ABを１：４に内分する点をP(x)とすると、



"x＝５"となります。実際に数直線をかいてみると



APの長さは、２−１＝１
BPの長さは、６−２＝４

"AP：PB＝１：４"となりますね。


では、この公式の証明をしていきましょう。



公式の証明には、次の２パターンを考えていきます。

・BがAよりも大きい場合(a＜b)
・AがBよりも大きい場合(a＞b)


"a＜b"ということは、数直線上の点"A、B、P"の位置関係は図のようになります。


APの長さは、AP＝x−a
PBの長さは、PB＝b−x

AP：PB＝m：nなので、

x−a：b−x＝m：n
n(x−a)＝m(b−x)
nx−na＝mb−mx
mx＋nx＝na＋mb
x(m＋n)＝na＋mb




"a＞b"ということは、数直線上の点"A、B、P"の位置関係は図のようになります。


APの長さは、AP＝a−x
PBの長さは、PB＝x−b

AP：PB＝m：nなので、

a−x：x−b＝m：n
n(a−x)＝m(x−b)
na−nx＝mx−mb
mx＋nx＝na＋mb
x(m＋n)＝na＋mb






において"m＝n"つまり"m：n＝１：１"のとき、点Pは線分ABを１：１に２分する点となるので、線分ABの中点といえます。このときの点Pの座標は(m＝n＝１を代入して)



で求めることができます。