鋭角三角形・直角三角形・鈍角三角形かを調べる方法
三角形の性質として、次のことが知られています。
△ABCの2つの角AとBに注目したとき、"∠A>∠B"であれば、それに対応する辺aとbの大小関係もまた"a>b"。
※角Bと角C、角Aと角Cに注目したときも同じ。
このことから、△ABCで
一番長い辺に対応する角が、その三角形の中で一番大きい、つまり△ABCの最大角であることがわかります。
ということは、
三角形の最大角の大きさを調べることで、その三角形が鋭角三角形・直角三角形・鈍角三角形かを判別できますね。
鋭角三角形・直角三角形・鈍角三角形
ちなみに、三角形の中のすべての角が鋭角である三角形を
鋭角三角形、三角形の1角が直角である三角形を
直角三角形、三角形の1角が鈍角である三角形を
鈍角三角形といいます。
練習問題
△ABCにおいて、∠A、∠B、∠Cにそれぞれ対応する辺が、"a=3、b=4、c=7"のとき、△ABCは鋭角三角形・直角三角形・鈍角三角形のいずれであるかを調べなさい。
与えられた条件で図をイメージしてかくとこのようになります。
(※あくまでもイメージで、この角の割合が正しいかはわかりません。)
"a=3、b=4、c=7"より、"a<b<c"なので、∠Cがこの三角形の最大角となります。つまり
∠Cが鋭角か、直角か、それとも鈍角かを調べることで、この三角形が鋭角三角形・直角三角形・鈍角三角形のいずれであるかを調べることができます。
∠Cについて考えるので、"c²=a²+b²−2ab cosC"の
余弦定理で考えてみましょう。
分母の"2ab"はつねに"2ab>0なので、"
cosCの大きさを調べるためには、"a² +b² −c² "の値を確認すればよいことがわかります。
a² +b² −c² =3²+4²−7²=9+16−49=−24<0
"a² +b² −c²<0"ということは、"cosC<0"ということなので、∠Cは90°より大きい角となります。つまり∠Cは鈍角です。
このことから、△ABCは鈍角三角形であるといえます。