正弦定理と余弦定理を使った問題
正弦定理と
余弦定理を両方使って、三角形の角度の大きさや辺の長さを求める問題を解説していきます。随時更新予定です。
問題１
△ABCにおいて、"a＝１＋√3、b＝２、∠C＝６０°"のとき、cの長さと∠A、∠Bの大きさを求めなさい。
与えられた条件で図をイメージしてかくとこのようになります。
(※あくまでもイメージで、この角の割合が正しいかはわかりません。)
■cの長さ
△ABCに
余弦定理を用います。
"c²＝a²＋b²−２ab・cosC"より
c²＝(１＋√3)²＋２²−２・２・(１＋√3)・cos60°
c²＝４＋２√3＋４−４(１＋√3)・１/２
c²＝８＋２√3−２−２√3
c²＝６
cは三角形の辺の長さなので"c＞０"だから
c＝√６
■∠A、∠Bの大きさ
次に△ABCに
正弦定理を用います。
に与えられた値を代入していきます。
よってBは"４５°"または"１３５°"と予想ができます。
ここで、△ABCの
３辺の大小関係についてみてみましょう。
"a＝１＋√3、b＝２、c＝√6"なので、"b＜c＜a"ですね。
このことから"
∠B＜∠C＜∠A"であることがわかります。
つまり、∠Bの大きさは∠Cよりも大きくなることはありません。
(∠Cの大きさは設問より６０°)
先ほどBは"４５°"または"１３５°"と求まりましたが、このことによって
"∠B＝４５°"となります。
残りは∠Aの大きさですね。
∠A＝１８０°ー(４５°＋６０°)＝１０５°
以上から、
"c＝√６、∠A＝１０５°、∠B＝４５°"
