３次方程式"ax³＋bx²＋cx＋d＝０"の３つの解を"α、β、γ"としたとき、次のことが成り立ちます。




ではこれを証明してみましょう。


３次方程式"ax³＋bx²＋cx＋d＝０"の３つの解が"α、β、γ"ということは

ax³＋bx²＋cx＋d＝a(x−α)(x−β)(x−γ)

と変形できますね。
この右辺を展開して整理します。

　a(x−α)(x−β)(x−γ)
＝a{x²−(α＋β)x＋αβ(x−γ)}
＝a{x³−γx²−(α＋β)x²＋(α＋β)γx＋αβx−αβγ}
＝a{x³−(α＋β＋γ)x²＋αγx＋βγx＋αβx−αβγ}
＝a{x³−(α＋β＋γ)x²＋(αγ＋βγ＋αβ)x−αβγ}


次に左辺を変形します。



左辺＝右辺ということは、両辺の同じ次数をもつ項の係数が同じということになるので、

b/a＝−(α＋β＋γ)
c/a＝(αγ＋βγ＋αβ
d/a＝−αβγ

これらを整理すると、



が成り立つ事がわかりますね。