関数ｆ（ｘ）が閉区間［ａ、ｂ］において連続で、開区間（ａ、ｂ）において微分可能であるとします。このとき
開区間（ａ、ｂ）においてつねにｆ’（ｘ）＜０ならば、ｆ（ｘ）は閉区間［ａ、ｂ］で単調に減少します。
これを証明してみましょう。
証明
まず、［ａ、ｂ］において任意の値「ｕ」と「ｖ」を設けます。
この２つの値は「
ａ≦ｕ＜ｖ≦ｂ」とします。
ここで
平均値の定理を使います。平均値の定理とは、関数ｆ（ｘ）が閉区間［ａ、ｂ］において連続で、開区間（ａ、ｂ）において微分可能であるとき
 -f \left(a\right) }{b-a} =\acute{f} \left(c\right) )
となる定数ｃが存在する、というものでしたね。つまり
 -f \left(u\right) }{v-u} =\acute{f} \left(c\right) )
…①（ｕ＜ｃ＜ｖ）
となるｃが存在することになります。
①を変形して
 -f \left(u\right) = \left(v-u\right) \acute{f} \left(c\right) )
ここで、冒頭にａ≦ｕ＜ｖ≦ｂであるとしていますので
ｖ－ｕ＞０ …②
そしてこの証明は、（ａ、ｂ）でつねにｆ’（ｘ）＜０であるという条件の上で始まっていますので、
ｆ’（ｃ）＞０ …③
②と③より（ｖ－ｕ）ｆ’（ｘ）＜０
このことから
 -f \left(u\right) = \left(v-u\right) \acute{f} \left(c\right)>0 )
 -f \left(u\right) <0)
 <f \left(u\right) )
このことから、開区間（ａ、ｂ）においてつねにｆ’（ｘ）＜０ならば、ｆ（ｘ）は閉区間［ａ、ｂ］で単調に減少することがわかります。
