二項定理とは
パスカルの三角形を利用して、次の定理を導くことができます。
(a+b)ⁿ=nC₀aⁿ+nC₁aⁿ⁻¹b+nC₂aⁿ⁻²b²+…+nCraⁿ⁻ʳbʳ+…+nCn₋₁abⁿ⁻¹+nCnbⁿ
※nCrのnとrは下付き文字
この定理を
二項定理といいます。
指数の数が大きいときに、この定理は力を貸してくれます。
では早速、二項定理を用いて次の問題を解いてみましょう。
練習問題
次の式を二項定理を用いて計算しなさい
(１) (a＋b)⁵
(２) (x−２y)⁴
■(１) (a＋b)⁵
(a＋b)⁵
＝₅C₀a⁵+₅C₁a⁴b+₅C₂a³b²+₅C₃a²b³+₅C₄ab⁴+₅C₅b⁵
＝a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵
■(２) (x−２y)⁴
(x−２y)⁴
＝₄C₀x⁴+₄C₁x³(−２y)+₄C₂x²(−２y)²+₄C₃x(−２y)³+₄C₄(−２y)⁴
＝x⁴-8x³y+24x²y²-32xy³+16y⁴
