３次式の乗法公式
数学Ⅰでは、
２次式の展開や因数分解について学習をしました。数学Ⅱでは、
３次式の展開や因数分解について学習をします。ここでは３次式の展開についてみていきましょう。
まず、次の４つの公式を覚えましょう。
・(a＋b)³＝a³＋３a²b＋３ab²＋b³
・(a－b)³＝a³－３a²b＋３ab²－b³
・(a＋b)(a²－ab＋b²)＝a³＋b³
・(a－b)(a²＋ab＋b²)＝a³－b³
例えば"(x＋２)³"という式があったとき、地道に計算をしても良いのですが、公式を使えると気がづくことができれば、計算のスピードがあがります。
練習問題
展開の公式は「考えるより慣れろ」です。様々な問題を解いて展開に慣れていきましょう。
問題 次の式を展開せよ。
(１) (ｘ＋２)³
(２) (２ｘ－１)³
(３) (ｘ－１)(ｘ²＋ｘ＋１)
(４) (ｘ＋１)(ｘ²ーｘ＋１)
■(１) (ｘ＋２)³
"(a＋b)³＝a³＋３a²b＋３ab²＋b³"の公式より
(ｘ＋２)³
＝ｘ³＋３・ｘ²・２＋３・ｘ・２²＋２³
＝ｘ³＋６ｘ²＋１２ｘ＋８
■(２) (２ｘ－１)³
"(a－b)³＝a³－３a²b＋３ab²－b³"の公式より
(２ｘ－１)³
＝(２ｘ)³－３・(２ｘ)²・１＋３・(２ｘ)・１²－１³
＝８ｘ³－１２ｘ²＋６ｘ－１
■(３) (ｘ－１)(ｘ²＋ｘ＋１)
地道に展開をしても問題ありませんが、
"(a－b)(a²＋ab＋b²)＝a³－b³"の公式に気がつくことができれば、すぐに解決です。
(ｘ－１)(ｘ²＋ｘ＋１)＝ｘ³－１
■(４) (ｘ＋１)(ｘ²ーｘ＋１)
こちらも地道に展開をしても問題ありませんが、
"(a＋b)(a²－ab＋b²)＝a³＋b³"の公式に気がつくことができれば、すぐに解決です。
(ｘ＋１)(ｘ²ーｘ＋１)＝ｘ³＋１
