３次式の因数分解
数学Ⅰでは、
２次式の展開や因数分解について学習をしました。数学Ⅱでは、
３次式の展開や因数分解について学習をします。ここでは３次式の因数分解についてみていきましょう。
展開の公式は４つありましたが、因数分解の公式は次の２つを覚えましょう。
・a³＋b³＝(a＋b)(a²－ab＋b²)
・a³－b³＝(a－b)(a²＋ab＋b²)
よく見ると、展開の公式
・(a＋b)(a²－ab＋b²)＝a³＋b³
・(a－b)(a²＋ab＋b²)＝a³－b³
を逆さまにしたものですね。
練習問題
因数分解の公式は「考えるより慣れろ」です。様々な問題を解いて展開に慣れていきましょう。
問題 次の式を因数分解せよ
(１) ６４ｘ³＋１２５ｙ³
(２) ｘ³－６４
■(１) ６４ｘ³＋１２５ｙ³
６４ｘ³＋１２５ｙ³＝(４ｘ)³＋(５ｙ)³
a³＋b³＝(a＋b)(a²－ab＋b²)の公式より
(４ｘ)³＋(５ｙ)³＝(４ｘ＋５ｙ)(１６ｘ²－２０ｘｙ＋２５ｙ²)
因数分解を始めるまえに、"(４x)³"のように係数も一緒にまとめることができないか、よく見てみる。
■(２) ｘ³－６４
"６４"が"４³"なことに気づけると、一発で答えを求めることができます。
ｘ³－６４＝ｘ³－４³
a³－b³＝(a－b)(a²＋ab＋b²)の公式より、
ｘ³－４³
＝(ｘ－４)(ｘ²＋４ｘ＋４²)
＝(ｘ－４)(ｘ²＋４ｘ＋１６)
３乗の因数分解のときには、"○³＋△³"または"○³－△³"の形を作ることが重要
