命題の対偶
命題「p⇒q」の
対偶は、「
」でした。そして
命題の対偶が真であれば、その命題は真となりましたね。（同じく対偶が偽であれば命題もまた偽でした）
この対偶の性質を利用して、命題が真（偽）であることを証明する問題についてみていきましょう。
「対偶が真なので与えられた命題は真だよ」という流れで証明をしていきます。
問題 整数nについて、対偶を利用して次の命題を証明しましょう。
[命題]「n²が奇数であれば、nは奇数である」
説明をしやすくするために、「n²が奇数」を条件p、「nは奇数である」を条件qとしましょう。つまりこの命題は、「p⇒q」となりますね。この命題を証明するために命題と対偶の関係を利用します。つまり「p⇒q」の対偶「
」が正しいかをチェックするということです。
■「nは奇数である」の否定
まず
をきちんと把握しましょう。
「nは奇数である」の否定は、「nは奇数ではない」すなわち「
nは偶数である」ですね。偶数nは、整数kを使って
n＝２k
と表すことができます。
■「n²が奇数」の否定
次に
を考えていきます。
「n²が奇数」の否定は、「n²が奇数ではない」すなわち「
n²は偶数である」ですね。さきほどn＝２kとしたので、n²はn＝２kを代入して
n²＝(２k)²＝４k²＝２(２k²)
kが整数なので、２k²も整数となります。つまり２(２k²)は偶数であるといえます。
以上のことから、「
nが偶数であれば、n²は偶数である」ことがわかりました。
対偶だ正しいことが証明できたので、もとの命題である「n²が奇数であれば、nは奇数である」も成り立つことが証明されました。
