命題[背理法を用いた証明と練習問題]

著者名：ふぇるまー

命題の証明

集合の単元では、命題の対偶を確かめる方法、そしてここで説明していく背理法とよばれる方法を用いて証明を行うパターンが多いですので、この背理法もしっかりマスターしていきましょう。

背理法とは

まず、そもそも背理法とは？ですが。

命題：「p⇒q」

を証明するのに用いる、証明法の１つです。
背理法を使った証明は、以下の手順をおってやります。流れは１通りと決まっていますので、まずは証明の流れをおさえるようにしましょう。

■その１

「 $p \Rightarrow \overline{q}$ 」と仮定する。

■その２

「 $p \Rightarrow \overline{q}$ 」を証明する過程で、「 $p \Rightarrow \overline{q}$ 」が成り立たないことを発見する。（矛盾を発見する）

■その３

矛盾があるということは、そもそも「 $p \Rightarrow \overline{q}$ 」とした仮定が間違っているのではないか。

■結論

$p \Rightarrow \overline{q}$ は間違いだから、「 $p \Rightarrow q$ 」は正しい。

背理法で命題を証明するには、与えられた命題 $p \Rightarrow q$ の結論qを否定した $p \Rightarrow \overline{q}$ が成り立つかどうかを利用する。

背理法は、様々な問題を解くことで身に付いていきますので、早速、練習問題を通して、背理法になれていきましょう。

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2013　数学Ⅰ　東京書籍

2013　数学Ⅰ　数研出版

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