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加法定理の証明　cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβの証明

著者名：となりがトトロ

cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβの証明

図のように、半径が１の単位円上に、点Ｐと点Ｑをとります。（自由にとります）
ＯＰとｘ軸とのなす角をα、ＯＱとｘ軸とのなす角をβとしたとき、ＯＰとＯＱのなす角はα－βとなります。そしてＰの座標は(cosα,sinα)、Ｑの座標は(cosβ,sinβ)となります。

証明

準備ができたところで証明にうつります。
△ＯＰＱにおいて余弦定理より

$PQ ^{2} =OP ^{2} +OQ ^{2} -2OP \cdot OQ \cos \left( \alpha - \beta \right)$

ＯＰとＯＱはともに、半径を１とする単位円の半径と同じ長さなので
$PQ ^{2} =1 ^{2} +1 ^{2} -2 \cos \left( \alpha - \beta \right)$
$PQ ^{2} =2-2 \cos \left( \alpha - \beta \right)$ 　　－①

次にＰＱの長さを考えます。
Ｐ(cosα,sinα)、Ｑ(cosβ,sinβ)なので

$PQ ^{2} = \left( \cos \beta - \cos \alpha \right) ^{2} + \left( \sin \beta - \sin \alpha \right) ^{2}$
$PQ ^{2} = \cos ^{2} \beta -2 \cos \alpha \cos \beta + \cos ^{2} \alpha + \sin ^{2} \beta - 2\sin \alpha \sin \beta + \sin ^{2} \alpha$
$PQ ^{2} = \sin ^{2} \alpha + \cos ^{2} + \sin ^{2} \beta + \cos ^{2} \beta -2 \sin \alpha \sin \beta -2 \cos \alpha \cos \beta$

$\sin ^{2} \alpha + \cos ^{2} \alpha =1$
$\sin ^{2} \beta + \cos ^{2} \beta =1$
わからないときはここ

なので、この式は
$PQ ^{2} =1+1-2 \sin \alpha \sin \beta -2 \cos \alpha \cos \beta$
$PQ ^{2} =2-2 \sin \alpha \sin \beta -2 \cos \alpha \cos \beta$ 　　－②

①と②より
$2-2 \cos \left( \alpha - \beta \right) =2-2 \sin \alpha \sin \beta -2 \cos \alpha \cos \beta$
$1- \cos \left( \alpha - \beta \right) =1- \sin \alpha \sin \beta - \cos \alpha \cos \beta$
$\cos \left( \alpha - \beta \right) = \cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$

証明おわり。

・加法定理の証明　cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβの証明

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証明, 加法定理, 加法定理の証明, 数学Ⅱ,

『教科書　数学Ⅱ』　東京書籍

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