４次方程式の解き方
次の４次方程式を解いてみましょう。
x⁴＋x³−７x²−x＋６＝０
因数定理を用いた３次方程式の解き方と同じように、"P(x)＝x⁴＋x³−７x²−x＋６"として、
"P(x)＝０"となるxの値がないかを探ります。すると、x＝１のときに
P(１)＝１＋１−７−１＋６＝０
となるので、"P(x)＝x⁴＋x³−７x²−x＋６"は、
"x−１"を因数に持つことがわかります。ここがわからない人は、
因数定理を用いた因数分解を復習しましょう。
P(x)÷(x−１)よりP(x)は、
x⁴＋x³−７x²−x＋６＝(x−１)(x³＋２x²−５x−６)
と因数分解できます。しかし"x³＋２x²−５x−６"がさらに因数分解できそうなので、これで終わりとはいえないですね。そこで今度は、"Q(x)＝x³＋２x²−５x−６"として、
"Q(x)＝０"となるxの値がないかを探ります。すると、x＝−１のときに
Q(x)＝−１＋２＋５−６＝０
となるので、"Q(x)＝x³＋２x²−５x−６"は、
"x＋１"を因数にもつことがわかります。これよりQ(x)は
x³＋２x²−５x−６＝(x−１)(x²＋x−６)
と因数分解できます。また"x²＋x−６"は、"x²＋x−６＝(x−２)(x＋３)"と因数分解できます。以上のことから
x⁴＋x³−７x²−x＋６＝(x＋１)(x−１)(x−２)(x＋３)
問題は、「"(x＋１)(x−１)(x−２)(x＋３)＝０"を解け」なので、
x＝１、−１、２、−３がこの４次方程式の解となります。
この問題でみたように、因数定理を繰り返すことで、どんなに次数の多い方程式でも因数分解をすることができます。
高次方程式は、因数分解を重ねることで解く事ができることを覚えておきましょう。
