なぜ判別式b²-4acで共有点の数がわかるのか
y=ax²+bx+cという２次関数があったとき、この
２次関数とｘ軸との共有点の数はb²-4acが０より大きいか小さいかによって判別することができた。ここでは、なぜ
b²-4acを用いるのかを説明していこう。
まず、ax²+bx+c=0という２次方程式の解を考えてみる。
実は、
y=ax²+bx+cとｘ軸との共有点のｘ座標の値は、ax²+bx+c=0の解と等しくなる。つまり、ax²+bx+c=0の解が２つであればy=ax²+bx+cとｘ軸との共有点も２つとなり、解が１つであれば共有点の数も１つとなる。解なしの場合は共有点もなしとなる。この性質を利用していく。
ax²+bx+c=0の解を求めるためには、解の公式を用いた。
気づいた人もいるかもしれないが、
b²-4acは解の公式のルートの中と一致する。
■b²-4ac>0
この部分がプラス、すなわちb²-4ac>0のときは、次のように解が２つになる。
■b²-4ac=0
ルート内が０、すなわちb²-4ac=0のときは、次のように解が１つ。
■b²-4ac<0
ルート内がマイナス、すなわちb²-4ac<0のときは計算ができずに解なしとなる。
さきほども述べたように、
y=ax²+bx+cとｘ軸との共有点のｘ座標の値は、ax²+bx+c=0の解と等しくなることから、解が２つのときは共有点も２つ、解が１つのときは共有点は１つ、解がないときは共有点もなしとなる。
だから共有点の数を判別するためには、b²-4acを用いるのである。
