マナペディアトップ > 高校 > 数学III > 積分法 > 置換積分法/部分積分法/区間求積法など > 置換積分法　その１

置換積分法　その１

著者名： OKボーイ

置換積分法とは

$\int_{}^{} x \sqrt{2-x} dx$ 　…①
の不定積分を求めよという問題があったとしましょう。

ルートが入っていて面倒くさそうですね…
このとき便宜的に
$t= \sqrt{2-x}$
とおいて計算を進める方法があります。
これを置換積分法といいます。

$x=g \left(t\right)$ 　としたとき、以下の公式が成り立ちます。

$\int_{}^{} f \left(x\right) dx= \int_{}^{} f \left(g \left(t\right) \right) \acute{g} \left(t\right) dt= \int_{}^{} f \left(g \left(t\right) \right) \frac{dx}{dt} dt$

問題

例えば先程の
$\int_{}^{} x \sqrt{2-x} dx$ 　の不定積分を求めてみましょう。

解

$t= \left(2-x\right)$ 　とおくと
$t ^{2} = \left(2-x\right) ^{2} =2-x$ 　より
$x=2-t ^{2}$ 　…②

$\frac{dx}{dt} =-2t$ 　より
$dx=-2t \cdot dt$ 　…③

②と③を①に代入すると
$\int_{}^{} x \sqrt{2-x} dx$
$= \int_{}^{} \left(2-t ^{2} \right) \cdot t \cdot \left(-2t\right) dt$
$= \int_{}^{} \left(2t ^{4} -4t ^{2} \right) dt$
$=2 \int_{}^{} \left(t ^{4} -2t ^{2} \right) dt$
$=2 \left( \frac{t ^{5} }{5} - \frac{2t ^{3} }{3} \right) +C$
$= \frac{2}{15} \left(3t ^{5} -10t ^{3} \right) +C$
$= \frac{2}{15} t ^{3} \left(3t ^{2} -10\right) +C$

ここで　 $t= \left(2-x\right)$ 　なのでこれを代入します。
$= \frac{2}{15} t ^{3} \left(3t ^{2} -10\right) +C$
$= \frac{2}{15} \left( \sqrt{2-x} \right) ^{3} \left(3 \left( \sqrt{2-x} \right) ^{2} -10\right) +C$
$= \frac{2}{15} \left(2-x\right) \left( \sqrt{2-x} \right) \left(3 \left(2-x\right) -10\right) +C$
$= \frac{2}{15} \left(2-x\right) \left( \sqrt{2-x} \right) \left(-3x-4\right) +C$
$=- \frac{2}{15} \left(2-x\right) \left( \sqrt{2-x} \right) \left(3x+4\right) +C$

このように、不定積分の計算を楽にしてくれる方法です。

・置換積分法　その１

・置換積分法　その２

・置換積分法　その２

・２回部分積分を行う問題

計算問題, 公式, 不定積分, 置換積分法,

『チャート式　数学ⅢＣ』　数研出版

『教科書　数学Ⅲ』　数研出版

この科目でよく読まれている関連書籍

このテキストを評価してください。

マイリストに追加

テキストの詳細

閲覧数	24,683 pt
役に立った数	6 pt
う〜ん数	8 pt
マイリスト数	0 pt

知りたいことを検索！

まとめ

このテキストのまとめは存在しません。

デイリーランキング

	「～する価値がある」を英語で（worth-ing/be worth a原形）
	蜻蛉日記原文全集「さて年くれはてぬれば、例のこととてののしりあかして」
	枕草子　原文全集「病は/十八九ばかりの人の/八月ばかりに」
4	２次不等式の文章題[物質を真上に打ち上げる問題]
5	直線における領域
6	十八史略『荊軻』(軻至咸陽〜)書き下し文・現代語訳と解説
7	『画竜点睛』テストで出題されそうな問題
8	クーリングオフ制度のしくみ
9	海の道とは　世界史における季節風の発見と港市国家の発展
10	不平等条約の改正

置換積分法 その１

このテキストを評価してください。

置換積分法　その１