置換積分法　その１ / 数学III by OKボーイ |マナペディア|

更新日時：2012-06-02
	置換積分法　その１
著作名： OKボーイ 24,777 views

置換積分法とは

$\int_{}^{} x \sqrt{2-x} dx$ 　…①
の不定積分を求めよという問題があったとしましょう。

ルートが入っていて面倒くさそうですね…
このとき便宜的に
$t= \sqrt{2-x}$
とおいて計算を進める方法があります。
これを置換積分法といいます。

$x=g \left(t\right)$ 　としたとき、以下の公式が成り立ちます。

$\int_{}^{} f \left(x\right) dx= \int_{}^{} f \left(g \left(t\right) \right) \acute{g} \left(t\right) dt= \int_{}^{} f \left(g \left(t\right) \right) \frac{dx}{dt} dt$

問題

例えば先程の
$\int_{}^{} x \sqrt{2-x} dx$ 　の不定積分を求めてみましょう。

解

$t= \left(2-x\right)$ 　とおくと
$t ^{2} = \left(2-x\right) ^{2} =2-x$ 　より
$x=2-t ^{2}$ 　…②

$\frac{dx}{dt} =-2t$ 　より
$dx=-2t \cdot dt$ 　…③

②と③を①に代入すると
$\int_{}^{} x \sqrt{2-x} dx$
$= \int_{}^{} \left(2-t ^{2} \right) \cdot t \cdot \left(-2t\right) dt$
$= \int_{}^{} \left(2t ^{4} -4t ^{2} \right) dt$
$=2 \int_{}^{} \left(t ^{4} -2t ^{2} \right) dt$
$=2 \left( \frac{t ^{5} }{5} - \frac{2t ^{3} }{3} \right) +C$
$= \frac{2}{15} \left(3t ^{5} -10t ^{3} \right) +C$
$= \frac{2}{15} t ^{3} \left(3t ^{2} -10\right) +C$

ここで　 $t= \left(2-x\right)$ 　なのでこれを代入します。
$= \frac{2}{15} t ^{3} \left(3t ^{2} -10\right) +C$
$= \frac{2}{15} \left( \sqrt{2-x} \right) ^{3} \left(3 \left( \sqrt{2-x} \right) ^{2} -10\right) +C$
$= \frac{2}{15} \left(2-x\right) \left( \sqrt{2-x} \right) \left(3 \left(2-x\right) -10\right) +C$
$= \frac{2}{15} \left(2-x\right) \left( \sqrt{2-x} \right) \left(-3x-4\right) +C$
$=- \frac{2}{15} \left(2-x\right) \left( \sqrt{2-x} \right) \left(3x+4\right) +C$

このように、不定積分の計算を楽にしてくれる方法です。

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