２回部分積分を行う問題

著者名： OKボーイ

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はじめに

簡単な問題だと、部分積分を１回やって答えが出るようになっていますが、次の問題のように、２回続けて部分積分を行う問題もあります。

問題

$\int_{}^{} x ^{2} \cos 3x dx$ 　の不定積分を求めなさい

まず部分積の公式より、以下のことが言えました。
$\int_{}^{} f \left(x\right) \acute{g} \left(x\right) dx=f \left(x\right) g \left(x\right) - \int_{}^{} \acute{f} \left(x\right) g \left(x\right) dx$

この公式と問題を照らしあわせて
$f \left(x\right) =x^{2}$
$\acute{g} \left(x\right) = \cos 3x$ 　とすると

$\acute{f} \left(x\right) =2x$
$g \left(x\right) = \frac{ \sin 3x}{3}$ 　となります。

$\int_{}^{} x ^{2} \cos 3x dx$
$= \int_{}^{} x ^{2} \acute{\left( \frac{ \sin 3x}{3} \right)} dx$
$= \frac{1}{3} x ^{2} \sin 3x- \int_{}^{} 2x \cdot \frac{ \sin 3x}{3} dx$
$= \frac{1}{3} x ^{2} \sin 3x- \frac{2}{3} \int_{}^{} x \sin 3xdx$

$= \frac{1}{3} x ^{2} \sin 3x- \frac{2}{3} \int_{}^{} x \acute{\left(- \frac{ \cos 3x}{3} \right)} dx$
$= \frac{1}{3} x ^{2} \sin 3x- \frac{2}{3} \left(x \left(- \frac{ \cos 3x}{3} \right) - \int_{}^{} 1 \cdot \left(- \frac{ \cos 3x}{3} \right) dx\right)$
$= \frac{1}{3} x ^{2} \sin 3x+ \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cos 3x+ \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \int_{}^{} \cos 3xdx$
$= \frac{1}{3} x ^{2} \sin 3x+ \frac{2}{9} c \cos 3x+ \frac{2}{9} \cdot \left(- \frac{ \sin 3x}{3} \right) +C$
$= \frac{1}{3} x ^{2} \sin 3x+ \frac{2}{9} c \cos 3x- \frac{2}{27} \cdot \sin 3x+C$

・置換積分法　その２

・置換積分法　その１

計算問題, 不定積分, 部分積分,

『チャート式　数学ⅢＣ』　数研出版

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