和積の公式 sinA-sinB=2{cos(A+B)/2}{sin(A-B)/2}　作り方・導き方

著者名：となりがトトロ

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sinA-sinB=2{cos(A+B)/2}{sin(A-B)/2}

この公式を導き出す前に、積和の公式
sinαcosβ=1/2{sin(α+β)+sin(α-β)}
が成り立つことを理解しておきましょう。
この公式が成り立つことを前提に、証明をしていきます。

証明

積和の公式より
$\sin A \cos B = \frac{1}{2} \left( \sin \left( A + B \right) + \sin \left( A - B \right) \right)$

「Ａ」と「Ｂ」をそれぞれ
$\frac{A-B}{2} , \frac{A+B}{2}$
に置き換えると
$\sin \frac{A-B}{2} \cos \frac{A+B}{2} = \frac{1}{2} \left( \sin \left( \frac{A-B}{2} + \frac{A+B}{2} \right) + \sin \left( \frac{A-B}{2} - \frac{A+B}{2} \right) \right)$
$\sin \frac{A-B}{2} \cos \frac{A+B}{2} = \frac{1}{2} \left( \sin A+ \sin \left(-B\right) \right)$
$\sin \frac{A-B}{2} \cos \frac{A+B}{2} = \frac{1}{2} \left( \sin A- \sin B\right)$

これを整理すると
$\sin A- \sin B=2 \cos \frac{A+B}{2}\sin \frac{A-B}{2}$

以上のことから、この公式が成り立つことがわかる。
証明おわり。

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『教科書　数学Ⅱ』　東京書籍

『教科書　数学Ⅱ』　数研出版

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