半角の公式　tan²α/2=（1-cosα）/（1+cosα）の導き方と使い方（証明・練習問題）

著者名：となりがトトロ

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tan²α/2=（1-cosα）/（1+cosα）の証明

tan²α/2=（1-cosα）/（1+cosα）の証明の前に、2倍角の公式：cos2α=2cos²α-1=1-2sin²αが成り立つことを理解しておきましょう。2倍角の公式が成り立つことを前提に証明をしていきます。

証明

sin、cos、tanの関係より
$\tan \alpha = \frac{ \sin \alpha }{ \cos \alpha }$

なので、両辺を２乗すると
$\tan ^{2} \alpha = \frac{ \sin ^{2} \alpha }{ \cos ^{2} \alpha }$ 　　－①

となる。このとき2倍角の公式よりcos2α=2cos²α-1=1-2sin²αなので、これをそれぞれ変形すると
$\cos 2 \alpha =1-2 \sin ^{2} \alpha$
$\sin ^{2} \alpha = \frac{1- \cos 2 \alpha }{2}$ 　　－②

$\cos 2 \alpha =2 \cos ^{2} -1$
$\cos ^{2} \alpha = \frac{1+ \cos 2 \alpha }{2}$ 　－③

②式、③式を①式に代入すると

$\frac{ \sin ^{2} \alpha }{ \cos ^{2} \alpha } = \frac{1- \cos 2 \alpha }{2} \div \frac{1+ \cos 2 \alpha }{2} = \frac{1- \cos 2 \alpha }{1+ \cos 2 \alpha }$

ここで、「α」を「α/2」に置き換えると

$\tan ^{2} \frac{ \alpha }{2} = \frac{1- \cos \alpha }{1+ \cos \alpha }$

が成り立つことがわかる。
証明おわり。

練習問題

半角の公式を用いて、tan30°の値を求めよ。

tan30°ということは、 $\tan \frac{60 ^{ \circ } }{2}$ ということなので、半角の公式より

$\tan ^{2} \frac{ 60 ^{ \circ } }{2} = \frac{1- \cos 60 ^{ \circ } }{1+ \cos 60 ^{ \circ } }$

$= \left(1- \frac{1}{2} \right) \div \left(1+ \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = \frac{1}{2}$

0°≦θ≦90°のとき、tanθはtanθ＞0となることから、tan30°＞0であることがわかる。このことから
$\tan 30 ^{ \circ } = \frac{1}{ \sqrt{3} }$

答え：tan30°=1/√3

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数学Ⅱ, 半角の公式, 半角の公式の証明,

『教科書　数学Ⅱ』　東京書籍

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