相似な三角形の面積比

著者名： OKボーイ

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相似な２つの三角形

相似な２つの三角形△ＡＢＣと△Ａ'Ｂ'Ｃ'があります。(相似比は１：ｋ)
△ＡＢＣの各辺の長さをａ、ｂ、ｃとしたときに△Ａ'Ｂ'Ｃ'の各辺の長さはｋａ、ｋｂ、ｋｃとなります。

このとき、２つの三角形の面積比についてみてみましょう。

面積

まず２つの三角形の面積を比べてみましょう。
△ＡＢＣの面積をＳ、△Ａ'Ｂ'Ｃ'の面積をＳ1とします。
このとき、三角比を用いて
$S= \frac{1}{2} bc \sin A$
$S1= \frac{1}{2} kb \cdot kc \sin A=k ^{2} \cdot \frac{1}{2} bc \sin A$
となります。このことから
$S:S1= \frac{1}{2} bc \sin A:k ^{2} \frac{1}{2} bc \sin A=1:k ^{2}$
であることがわかります。

相似な２つの三角形において相似比が１：ｋであるとき、その面積比は
$1:k ^{2}$ になります。

よく使われる定理ですので、きちんと覚えておきましょう。
また忘れてしまっても、このように自分で導き出せるようしておきましょう。

・中学数学３　平行線と線分の比の証明

・相似な図形－三角形の相似条件－

・相似な円柱の表面積比・体積比

・相似な図形における表面積比と体積比　

・相似な直方体の表面積比・体積比

面積比, 相似, 相似な図形, 相似な三角形,

『教科書　新しい数学３』　東京書籍

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