平行線と線分の比
上図のように△ＡＢＣにおいて、辺ＡＢと辺ＡＣ上に点Ｐと点ＱがあってＰＱ//ＢＣ（平行）なとき、次の定理が成り立つ。
ＡＰ：ＰＢ＝ＡＱ：ＱＣ
このテキストでは、この定理を証明します。
証明
図のように、点Ｑを通ってＰＢと平行になる補助線をかき、辺ＢＣとの交点をＲとします。
△ＡＰＱと△ＱＲＣにおいてＰＱ//ＱＣより、
∠ＡＱＰ＝∠ＱＣＲ －①
（※
平行な２つの直線における同位角は等しいことから）
また、ＡＰ//ＱＲより、同じ理由で
∠ＰＡＱ＝∠ＲＱＣ －②
①、②より
２組の角の大きさがそれぞれ等しいことから、△ＡＰＱと△ＱＲＣは相似であることがわかった。よって
ＡＰ：ＱＲ＝ＡＱ：ＱＣ －③
次に四角形ＰＢＲQは平行四辺形なので、
ＰＢ＝ＱＲ －④
③と④より、
ＡＰ：ＱＲ＝ＡＱ：ＱＣ＝ＡＰ：ＰＢ＝ＡＱ：ＱＣ
以上で定理が成り立つことが証明できた。
証明おわり。
