複素数の四則計算

ここでは、複素数の四則計算について述べたいと思います。
四則計算とは加法（足し算）、減法（引き算）、乗法（掛け算）、除法（割り算）のことですね。



(ａ＋ｂｉ)＋(ｃ＋ｄｉ)

という式があったとしましょう。
ポイントのように、iを文字と考えて計算をします。すると

(ａ＋ｂｉ)＋(ｃ＋ｄｉ)＝(ａ＋ｃ)＋(ｂ＋ｄ)ｉ
　
となりますね。実際に数字を当てはめて考えてみましょう。


(３＋２ｉ)＋(５－６ｉ)を計算してみます。

(３＋２ｉ)＋(５－６)ｉ
＝(３＋５)＋{(２＋(－６)}ｉ
＝８－４ｉ

今までやってきた計算となんら変わりませんね。


続いて減法です。これも加法と同じようにiを文字と考えて解きます。

(ａ＋ｂｉ)－(ｃ＋ｄｉ)＝(ａ－ｃ)＋(ｂ－ｄ)ｉ

となります。数字を当てはめると以下のようになります。


(３＋２ｉ)－(５－６ｉ)を計算してみます。

(３＋２ｉ)－(５－６ｉ)
＝(３－５)＋{(２－（－６)}ｉ
＝－２＋８ｉ



続いて乗法です。これもiを文字と考えて解いていきますが、１つだけ加法、乗法と違う点がでてきます。それが 「ｉ²」です。

例えば、数式(ａ＋ｂｉ)×(ｃ＋ｄｉ)を展開してみます。

(ａ＋ｂｉ)×(ｃ＋ｄｉ)＝ａｃ＋ａｄｉ＋ｂｃｉ＋ｂｄｉ²

このように式を展開していくと、ｉ²がでてきます。
虚数の決まりごとから、

ｉ²＝ー１

なので、これを式に代入してまとめていきます。すると、

(ａ＋ｂｉ)×(ｃ＋ｄｉ)
＝ａｃ＋ａｄｉ＋ｂｃｉ＋ｂｄｉ²
＝ａｃ＋ａｄｉ＋ｂｃｉ－ｂｄ
＝(ａｃ－ｂｄ)＋(ａｄ＋ｂｃ)ｉ

となります。
実際に数字をいれて計算してみましょう。


(３＋２ｉ)×(５－６ｉ)を計算してみます。


(３＋２ｉ)×(５－６ｉ)
＝１５－１８ｉ＋１０ｉ－１２ｉ²
＝１５＋１２－８ｉ
＝２７－８ｉ

［ｉ²］にだけ注意していれば、問題なく解けるかと思います。


最後に除法（割り算）です。除法は、今までの加法、減法、乗法とは少し違います。解くためのポイントはこちらです。



次の数式について考えてみます。



このとき、分母に、分母の共役な複素数「ａ－ｂｉ」をかけて計算を行います。
すると



これを整理するとと、



となります。

ではこれも実際に数字を入れて計算してみましょう。


次の式を展開してみましょう。



分母に、分母「３＋２ｉ」の共役な複素数「３－２ｉ」をかけます。すると、



となり、これを展開していくと、



となります。


いかがでしたでしょうか。
最後にもう１度ポイントをおさらいしてみましょう。



この２つが頭に入っておけば、複素数の計算は怖いものなしですね。