積分放物線と直線で囲まれた図形の面積を求める公式の証明

著者名：ふぇるまー

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放物線と直線で囲まれた図形の面積を求める公式の証明

ここでは、放物線と直線で囲まれた図形の面積を求める公式を証明していきます。まず、証明する公式を思い出しておきましょう。

$S= \int_{ \alpha }^{ \beta } (x- \alpha )(x- \beta )dx=- \frac{1}{6} ( \beta - \alpha ) ^{3}$

証明

式の証明は簡単で、ただ単に左辺を展開して右辺になるかを確認すればOKです。

$\int_{ \alpha }^{ \beta } (x- \alpha )(x- \beta )dx$

$= \int_{ \alpha }^{ \beta } \left{x ^{2} -( \alpha + \beta )x+ \alpha \beta \right} dx$

$= \left[ \frac{x ^{3} }{3} - \frac{ \alpha + \beta }{2} x ^{2} + \alpha \beta x\right]_{ \alpha }^{ \beta }$

$= \frac{ \beta ^{3} }{3} - \frac{ \alpha + \beta }{2} \beta ^{2} + \alpha \beta ^{2} -(\frac{ \alpha ^{3} }{3} - \frac{ \alpha + \beta }{2} \alpha ^{2} + \alpha^{2} \beta )$

$=\frac{ \beta ^{3} }{3} - \frac{ \alpha + \beta }{2} \beta ^{2} + \alpha \beta ^{2} -\frac{ \alpha ^{3} }{3} + \frac{ \alpha + \beta }{2} \alpha ^{2} - \alpha^{2} \beta$

$= \frac{1}{3} ( \beta ^{3} - \alpha ^{3} )- \frac{1}{2} ( \alpha + \beta )( \beta ^{2} - \alpha ^{2} )+ \alpha \beta ( \beta - \alpha )$

$= \frac{1}{3} ( \beta - \alpha )( \beta ^{2} + \beta \alpha + \alpha ^{2} )- \frac{1}{2} ( \alpha + \beta )( \beta + \alpha )( \beta - \alpha )+ \alpha \beta ( \beta - \alpha )$

$= \frac{1}{3} ( \beta - \alpha )( \beta ^{2} + \beta \alpha + \alpha ^{2} )- \frac{1}{2} ( \alpha + \beta ) ^{2} ( \beta - \alpha )+ \alpha \beta ( \beta - \alpha )$

$= \frac{1}{6} ( \beta - \alpha ) \left{2( \beta ^{2} + \beta \alpha + \alpha ^{2} )-3( \alpha + \beta ) ^{2} +6 \alpha \beta \right}$

$= \frac{1}{6} ( \beta - \alpha ) \left{2 \beta ^{2} +2 \beta \alpha +2 \alpha ^{2} -3( \alpha ^{2} +2 \alpha \beta + \beta ^{2} )+6 \alpha \beta \right}$

$= \frac{1}{6} ( \beta - \alpha ) (2 \beta ^{2} +2 \beta \alpha +2 \alpha ^{2} -3 \alpha ^{2} -6 \alpha \beta -3 \beta ^{2} +6 \alpha \beta )$

$= \frac{1}{6} ( \beta - \alpha )(- \beta ^{2} +2 \alpha \beta - \alpha ^{2} )$

$=- \frac{1}{6} ( \beta - \alpha )( \beta ^{2} -2 \alpha \beta + \alpha ^{2} )$

$=- \frac{1}{6} ( \beta - \alpha )( \beta - \alpha ) ^{2}$

$=- \frac{1}{6} ( \beta - \alpha ) ^{3}$

となり、公式を導くことができました。

・積分面積を求める公式一覧

・放物線とｘ軸とで囲まれた部分の面積

・積分曲線とx軸の間の面積を求める問題

・２つの曲線に囲まれた部分の面積

・積分を使って面積を求める

証明, 公式, 面積, 積分,

2013　数学Ⅱ　数研出版

2013　数学Ⅱ　東京書籍

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まとめ

不定積分・積分はこの順番で読む

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