等差数列の和を求める公式の証明
初項がa、公差がｄの等差数列において、初項から第ｎ項
までの和
は、
 = \frac{1}{2} n \left(2a%2B \left(n-1\right) d\right) )
で求めることができます。今回はこの公式を証明します。
証明
証明の方法を理解するために、まずは具体的な数字の入った数列を例に考えていく。
これは、初項が２、公差が２、項数が５の等差数列である。初項２から第５項１０までの和
は、
-①
となる。一方で、足し算の順番を変えて
－②
と書くこともできる。①＋②をすると、次のような計算ができる。
これと同じことを、今度は初項がa、公差がｄの数列で考えていく。
この数列において、第ｎ項は
であり、初項から第ｎ項までの和
は、
 %2B \left(a%2B2d\right) %2B \left(a%2B3d\right) %2B \cdots \left(a _{n} -d\right) %2Ba _{n} )
－③
一方で、先ほどと同じように次のようにも表せる。
%2B \left(a _{n} -2d\right) %2B\left(a _{n} -3d\right) %2B\cdots %2B\left(a%2Bd\right) %2B a)
－④
③＋④をすると
 )
 )
－⑤
また、初項がa、公差がｄの数列の一般項は
 d)
なので、これを⑤に代入すると
 d\right) )
 d\right) )
以上のことから
であることがわかった。
証明おわり。
