等差数列の和を求める公式の証明
初項がa、公差がdの等差数列において、初項から第n項

までの和

は、
で求めることができます。今回はこの公式を証明します。
証明
証明の方法を理解するために、まずは具体的な数字の入った数列を例に考えていく。
これは、初項が2、公差が2、項数が5の等差数列である。初項2から第5項10までの和

は、

-①
となる。一方で、足し算の順番を変えて

-②
と書くこともできる。①+②をすると、次のような計算ができる。
これと同じことを、今度は初項がa、公差がdの数列で考えていく。
この数列において、第n項は

であり、初項から第n項までの和

は、
 %2B \left(a%2B2d\right) %2B \left(a%2B3d\right) %2B \cdots \left(a _{n} -d\right) %2Ba _{n} )
-③
一方で、先ほどと同じように次のようにも表せる。
%2B \left(a _{n} -2d\right) %2B\left(a _{n} -3d\right) %2B\cdots %2B\left(a%2Bd\right) %2B a)
-④
③+④をすると
 )
-⑤
また、初項がa、公差がdの数列の一般項は
なので、これを⑤に代入すると
以上のことから
であることがわかった。
証明おわり。