三角関数の相互関係の公式を使った練習問題

著者名：ふぇるまー

三角関数の相互関係

数学Ⅰで、三角比の相互関係について学習しましたが、三角関数でもまったく同じ公式を使います。

$\sin ^{2} \theta + \cos ^{2} \theta =1$ 　ー①
$\tan \theta = \frac{ \sin \theta }{ \cos \theta }$ 　ー②
$1+ \tan^{2} \theta = \frac{1}{ \cos ^{2} \theta }$ 　ー③

練習問題１

θが第３象限の角で、
$\sin \theta =- \frac{4}{5}$
のとき、cosθとtanθの値を求めなさい。

「θが第３象限の角」ということは、図の色がかったところにθはあるということなので、"cosθ＜０"、"tanθ＞０"であることをまずはおさえておきましょう。

$\sin ^{2} \theta + \cos ^{2} \theta =1$

より、

$(- \frac{4}{5} ) ^{2} + \cos ^{2} \theta =1$
$\cos ^{2} \theta =1- \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$

"cosθ＜０"なので

$\cos \theta =- \frac{3}{5}$

求めた値を②に代入をして

$\tan \theta =(- \frac{4}{5} ) \div (- \frac{3}{5} )= \frac{4}{3}$

練習問題２

θが第４象限の角で、
$\tan \theta =- \frac{ \sqrt{2} }{4}$
のとき、sinθとcosθの値を求めなさい。

「θが第４象限の角」ということは、図の色がかったところにθはあるということなので、"sinθ＜０"、"cosθ＞０"であることをまずはおさえておきましょう。

③の公式より

$1+ (- \frac{ \sqrt{2} }{4} ) ^{2} = \frac{1}{ \cos ^{2} \theta }$

$\frac{1}{ \cos ^{2} \theta } = \frac{18}{16}$

$\cos ^{2} \theta = \frac{16}{18}$

"cosθ＞０"より

$\cos \theta = \sqrt{ \frac{16}{18} } = \frac{2 \sqrt{2} }{3}$

求めた値を①に代入します。

$\sin ^{2} \theta + ( \frac{2 \sqrt{2} }{3} ) ^{2} =1$

$\sin ^{2} \theta =1- \frac{8}{9} = \frac{1}{9}$

"sinθ＜０"より、

$\sin \theta = - \sqrt{ \frac{1}{9} } =- \frac{1}{3}$

・三角関数の性質[θ＋πの公式の証明と練習問題]

・三角関数の性質[π/2-θの公式の証明]

・y＝sin(θ-π/2)のグラフの書き方[三角関数のグラフ]

・三角関数の不等式tan(θ−π/４)＞１[角度の部分が複雑な不等式の計算問題]

・y＝2cosθのグラフの書き方[三角関数のグラフ]

公式, 練習問題, 三角関数, 問題, 三角関数の相互関係,

2013　数学Ⅱ　数研出版

2013　数学Ⅱ　東京書籍

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