三角関数の性質[π/2-θの公式の証明]

著者名：ふぇるまー

π/2−θの三角関数の公式

$\sin \left( \theta + \frac{ \pi }{2} \right) = \cos \theta$
$\cos \left( \theta + \frac{ \pi }{2} \right) =- \sin \theta$
$\tan \left( \theta + \frac{ \pi }{2} \right) =- \frac{1}{ \tan \theta }$

これらの公式を利用して、次の公式を証明してみましょう。

$\sin \left( \frac{ \pi }{2} - \theta \right) = \cos \theta$
$\cos \left( \frac{ \pi }{2} - \theta \right) = \sin \theta$
$\tan \left( \frac{ \pi }{2} - \theta \right) = \frac{1}{ \tan \theta }$

公式の証明は加法定理を用いておこなうこともできますが、今回は加法定理を学習していなくてもできる方法で行います。

sin(π/2−θ)＝cosθの証明

$\sin \left( \theta + \frac{ \pi }{2} \right) = \cos \theta$
のθを、−θにおきかえてみます。

$\sin \left( \frac{ \pi }{2} - \theta \right) = \cos \left(- \theta \right)$

ここで、"cos(−θ)＝cosθ"の公式より、

$\sin \left( \frac{ \pi }{2} - \theta \right) = \cos \left(- \theta \right) = \cos \theta$

cos(π/2−θ)＝sinθの証明

$\cos \left( \theta + \frac{ \pi }{2} \right) =- \sin \theta$
のθを、−θにおきかえてみます。

$\cos \left( \frac{ \pi }{2} - \theta \right) =- \sin \left(- \theta \right)$

ここで、"sin(−θ)＝−sinθ"の公式より、

$\cos \left( \frac{ \pi }{2} - \theta \right) =- \sin \left(- \theta \right) =- \left(- \sin \theta \right) = \sin \theta$

tan(π/2−θ)＝1/tanθの証明

$\tan \left( \theta + \frac{ \pi }{2} \right) =- \frac{1}{ \tan \theta }$
のθを、−θにおきかえてみます。

$\tan \left( \frac{ \pi }{2} - \theta \right) =- \frac{1}{ \tan \left(- \theta \right) }$

ここで、"tan(−θ)＝−tanθ"の公式より、

$\tan \left( \frac{ \pi }{2} - \theta \right) =- \frac{1}{ \tan \left(- \theta \right) } =- \frac{1}{- \tan \theta } = \frac{1}{ \tan \theta }$

・三角関数cosθを含む不等式の基本問題

・弧度法を用いて扇の弧の長さと面積を求める公式

・三角関数sinθを含む方程式の計算問題

・三角関数tan(θ−π/４)=１[角度の部分が複雑な方程式の計算問題]

・y＝sinθのグラフの書き方[三角関数のグラフ]

証明, 公式, 三角関数, π/2−θ,

2013　数学Ⅱ　数研出版

2013　数学Ⅱ　東京書籍

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