三角関数の性質[θ＋πの公式の証明と練習問題]

著者名：ふぇるまー

θ＋πの三角関数の公式

図において、"∠POA＝θ"、"OP＝r"とします。
そして原点を軸に、△POAを対称移動させた三角形を△QOBとします。
"∠QOB＝θ"なので、色のついた部分の角度は、弧度法で"θ＋π"となります。
このとき、

$\sin \theta = \frac{y}{r}$
$\cos \theta = \frac{x}{r}$
$\tan \theta = \frac{y}{x}$

また、
$\sin \left( \theta + \pi \right) =- \frac{y}{r}$
$\cos \left( \theta + \pi \right) =- \frac{x}{r}$
$\tan \left( \theta + \pi \right) = \frac{y}{x}$

以上のことから、次の公式がなりたちます。

sin(θ＋π)＝−sinΘ
cos(θ＋π)＝−cosΘ
tan(θ＋π)＝tanΘ

練習問題

次の式の値をそれぞれ求めなさい。
$\sin \frac{4}{3} \pi$
$\cos \frac{5}{4} \pi$
$\tan \frac{4}{3} \pi$

■sin４/３ π

$\sin \frac{4}{3} \pi = \sin \left( \frac{1}{3} \pi + \pi \right) =- \sin \frac{1}{3} \pi =- \frac{ \sqrt{3} }{2}$

■cos５/４ π

$\cos \frac{5}{4} \pi = \cos \left( \frac{1}{4} \pi + \pi \right) =- \cos \frac{1}{4} \pi =- \frac{1}{ \sqrt{2} }$

■tan４/３ π

$\tan \frac{4}{3} \pi = \tan \left( \frac{1}{3} \pi + \pi \right) = \tan \frac{1}{3} \pi =\sqrt{3}$

弧度法で表した角の三角比の求め方がわからない場合は、三角関数の基本[弧度法で表されたθを用いてsinΘ,cosΘ,tanΘの値を求める問題]をチェックしておきましょう。

・数学Ⅱの三角関数で使う公式の一覧

・三角関数の性質[π/2-θの公式の証明]

・三角関数の相互関係の公式の証明

・y＝2tanθのグラフの書き方[三角関数のグラフ]

・y＝cos2θのグラフの書き方[三角関数のグラフ]

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2013　数学Ⅱ　東京書籍

2013　数学Ⅱ　数研出版

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