円に接する直線の方程式
円に接する直線とはどのようなものか、まずは図にかいてみます。
"x²＋y²＝r²"と接する接線lの方程式を求めてみましょう。円と接線は点P(x₁，y₁)で交わるとします。(点Pは座標軸上の点ではないとします。)
■<ポイント>
OPとlは垂直に交わるので、OPの傾きとlの傾きをかけると−１になることに注目する。
求め方
OPの傾きは、
なので、直線lの傾きをmとしたとき、
座標上の２つの直線が垂直に交わるための条件・公式より
そして直線lは点P(x₁，y₁)を通ることから、方程式は、
 )
これを整理していきます。両辺にy₁をかけると
y₁y−y₁²＝−x₁x＋x₁²
x₁x＋y₁y＝x₁²＋y₁² ー①
ここで視点をかえましょう。
点P(x₁，y₁)は"x²＋y²＝r²"上の点なので
x₁²＋y₁²＝r²" ー②
②を①に代入すると、
"x₁x＋y₁y＝r²"
これが円に接する直線の方程式です。
"x²＋y²＝r²"と点P(x₁，y₁)で接する接線の方程式は、
"x₁x＋y₁y＝r²"
