円に内接する四角形
円に内接する四角形ABCDにおいて、"AB＝４、BC＝３、CD＝１、∠ABC＝６０°"のとき、ADの長さと四角形ABCDの面積Sを求めなさい。
与えられた条件で図をイメージしてかくとこのようになります。
(※あくまでもイメージで、この角の割合が正しいかはわかりません。)
「
四角形の面積を求める方法を学習していない！！」と焦ることはありません。
四角形ABCDは、ACに補助線を引くことで△ABCと△ACDに２分することができ、それぞれの三角形の面積を求めて足し合わせることで、四角形の面積を求めることができます。
こう考えたら、少しは問題を解ける気がしませんか？
ADの長さ
まずはADの長さから求めましょう。
ADを求めるには、△ACDに
正弦定理、もしくは
余弦定理を用いる必要があります。
正弦定理の場合、例えば
となるでしょうが、与えられた数値だけでは∠ACDの値を求めることはできないので、
正弦定理を用いることは難しそうです。では、
余弦定理はどうでしょうか。
AC²＝AD²＋DC²−２・AD・DC・cosACD ー①
四角形ABCDは円に内接しているので、"∠ACD＝１８０°−６０°＝１２０°"です。なので、ACの長さがわかれば与えられた条件で"AD"の長さを求めることができそうですね。というわけで、まずはACの長さを求めましょう。
△ABCに余弦定理を適用すると、
AC²＝４²＋３²−２・４・３・cos60°
AC²＝１６＋９−２４・１/２
AC²＝１３
"AC＞０"より、"AC＝√13"と求まりました。
これを①に代入します。
１３＝AD²＋１²−２・AD・１・cos１２０°
AD²＋AD−１２＝０
(AD＋４)(AD−３)＝０
"AD＞０"より、"
AD＝３"。
四角形ABCDの面積S
サインを使って三角形の面積を求める公式を使って△ABCの面積S1と、△ACDの面積S2を求めて、それらを足し合わせていきます。
これを整理すると
これを整理すると
