２つの実数aとbがあるとき、この２つの数の平均を求めてみましょう。
平均といえば「足して２で割る」でしたね。



このことを数学Ⅱ以降では、相加平均(そうかへいきん)といいます。２つ(相)を足して(加)求める平均です。

実は平均の求め方にはもう１つあります。a>0,b>0のとき、「かけてその数にルートをつける」方法で求めます。



この方法で求めた平均のことを、相乗平均(そうじょうへいきん)といいます。２つ(相)をかけて(乗)求める平均です。


a>0,b>0のとき、相加平均と相乗平均には、次のような関係があります。




ではこの関係を証明してみましょう。
左辺−右辺をします。







２乗は必ず０以上になるので、


となります。以上から、"左辺−右辺≧０"なので、与えられた不等式が成り立つことがわかりました。

また、この不等式において等号が成り立つのは、



の等号が成り立つときに等しいので、

"√a−√b＝０"

つまり、"√a＝√b"
すなわち"a＝b"のときに等号が成り立ちます。