高次方程式の解と係数の関係
方程式の解から、高次方程式を求める問題を解いてみましょう。
３次方程式"x³−ax²＋bx＋６＝０"が、"x＝−１、x＝２"を解にもつとき、実数aとbの値と、３次方程式のもう１つの解を求めてみよう。
この問題を考える前に、次の問題をみてみます。
２次方程式"x²−ax＋２＝０"の解の１つがx＝１のとき、aの値を求めなさい。
"x＝１"を与えられた式に代入することでaの値が求められますよね。３次方程式でもこの考えは同じです。
aとbの値を求める
３次方程式"x³−ax²＋bx＋６＝０"の解が、"x＝−１、x＝２"なので、これらを式に代入していきます。
■x＝−１のとき
(−１)³−a(−１)²−b＋６＝０
−１−a−b＋６＝０
a＋b＝５ ー①
■x＝２のとき
２³−a・２²−２b＋６＝０
８−４a−２b＋６＝０
−４a−２b＝−１４
２a−b＝７ ー②
①と②より
"a＝４、b＝１"
以上より、もとの３次方程式は"x³−４x²＋x＋６＝０"と求まりました。
３次方程式の解を求める
続いてこの方程式の解を求めていきます。
この方程式は、
"x＝−１"と"x＝２"を解にもつことから、(x＋１)と(x−２)を因数にもつことがわかります。ここがポイントです。つまり左辺が
x³−４x²＋x＋６＝(x＋１)(x−２)(x＋k)
と因数分解できるはずです。(x＋k)はあくまでも例えです。
(x＋k)＝x³−４x²＋x＋６÷(x＋１)(x−２)＝x−３
よって方程式の左辺は次のように因数分解できます。
x³−４x²＋x＋６＝(x＋１)(x−２)(x−３)
そして"(x＋１)(x−２)(x−３)＝０"を満たすxの値は、"x＝−１、２、３"なので、求める
もう１つの解は"３"となります。
