高次方程式とは
整式P(x)＝２x²＋３x＋４のとき、
"P(x)＝２x²＋３x＋４＝０"
これは２次式ですね。
整式P(x)＝３x³＋３x²＋２x＋１のとき、
"P(x)＝３x³＋３x²＋２x＋１＝０"
これは３次式ですね。
P(x)がn次の式のとき、"P(x)＝０"のことを
n次式方程式といいます。その中でも特に、nが３次以上の方程式を
高次方程式といいます。そしてこの単元では、高次方程式を解く方法についてみていきます。
因数定理を用いた高次方程式の解き方
高次方程式を解くには、
・因数分解の公式を用いて因数分解してから計算
・
因数定理を用いて因数分解してから計算
の２パターンがありますが、ここでは因数定理を用いた高次方程式の解き方をみていきます。
因数分解を用いた高次方程式の解き方については、リンク先を参照してください。
次の方程式を解きなさい。
(１) x³＋３x²＋x−５＝０
(２) x³−３x²＋４＝０
■(１) x³＋３x²＋x−５＝０
"P(x)＝x³＋３x²＋x−５"とすると、"x＝１"のときに
"P(１)＝１＋３＋１−５＝０"となります。よって
因数定理により
P(x)＝(x−１)(x²＋４x＋５)
と左辺を因数分解することができました。
(x−１)(x²＋４x＋５)＝０
この方程式を満たすxの値は、"x−１＝０"または"x²＋４x＋５＝０"を満たすxの値となります。
・x−１＝０
x＝１
・x²＋４x＋５＝０
解の公式より、
x＝−２± i
以上から、
"x＝１、−２± i"が答えとなります。
■(２) x³−３x²＋４＝０
"P(x)＝x³−３x²＋４"とすると、"x＝−１"のときに
"P(−１)＝−１−３＋４＝０"となります。よって
因数定理により
P(x)＝(x＋１)(x²−４x＋４)＝(x＋１)(x−２)²
と左辺を因数分解することができました。
(x＋１)(x−２)²＝０
この方程式を満たすxの値は、"x＋１＝０"または"(x−２)²＝０"を満たすxの値となります。
・x＋１＝０
x＝−１
・(x−２)²＝０
x＝２
以上から、
"x＝−１、２"が答えとなります。
■２重解
ちなみに、"(x＋１)(x−２)²＝(x＋１)(x−２)(x−２)＝０"なので、この式からは"x＝２"を２回求めることができますよね。このような解のことを
２重解といいます。
"(x＋１)(x−２)³＝０"の場合は、"x＝２"を３回求めることができるので、３重解といいます。
