高次方程式とは
整式P(x)＝x²＋２x＋３のとき、
"P(x)＝x²＋２x＋３＝０"
これは２次式ですね。
整式P(x)＝x³＋x²＋x＋１のとき、
"P(x)＝x³＋x²＋x＋１＝０"
これは３次式ですね。
P(x)がn次の式のとき、"P(x)＝０"のことを
n次式方程式といいます。その中でも特に、nが３次以上の方程式を
高次方程式といいます。そしてこの単元では、高次方程式を解く方法についてみていきます。
因数分解の公式を用いた高次方程式の解き方
高次方程式を解くには、
・因数分解の公式を用いて因数分解してから計算
・
因数定理を用いて因数分解してから計算
の２パターンがありますが、ここでは因数分解の公式を用いた高次方程式の解き方をみていきます。
次の方程式を解きなさい。
(１) x³＝６４
(２) x⁴＝１
■(１) x³＝６４
与えられた式を変形すると、"x³−６４＝０"
この左辺に、
３乗の多項式の因数分解の公式を当てはめます。
x³−６４＝(x−４)(x²＋４x＋１６)＝０
この方程式を満たすxの値は、"x−４＝０"または"x²＋４x＋１６＝０"を満たすxの値となります。
x−４＝０より、"x＝４"
x²＋４x＋１６＝０には
解の公式を用いて、"x＝−２±２√３ i"
以上から、
"x＝４、−２±２√３ i"が答えとなります。
■(２) x⁴＝１
ではもう１問やってみましょう。
与えられた式を変形すると、"x⁴−１＝０"。
この左辺は３次式ではないので、因数分解の公式をそのまま当てはめることができませんね。そんなときは、
工夫して因数分解をしたこと、または
複２次式の因数分解を思い出してみましょう。
"x²＝A"とおくと、"x⁴−１＝０"は、"A²−１＝０"となります。
A²−１＝０
(A＋１)(A−１)＝０
(x²＋１)(x²−１)＝０
(x²＋１)(x＋１)(x−１)＝０
この方程式を満たすxの値は、"x²＋１＝０"、"x＋１＝０"または"x−１＝０"を満たすxの値となります。
・x²＋１＝０
x²＝ー１
x＝±i
・x＋１＝０
x＝−１
・x−１＝０
x＝１
以上から、
x＝±１、±iが答えとなります。
いま見てきて気づいた人もいるかもしれませんが、
n次方程式の答えの数はn個になります。３次方程式式(１)の答えの数は３個、４次方程式(２)の答えの数は４個ですね。
特に３次方程式の答えに関してですが、"x³＝a"の解を、aの
３乗根(または立方根)といいます。今回の問題"x³＝６４"を満たす解"x＝４、−２±２√３ i"は、６４の３乗根といいます。
