この単元では、整式"x²＋bx＋c"を、
・"P(x)＝x²＋bx＋c"
・"Q(x)＝x²＋bx＋c"

といった形にして考えていきます。整式であれば２次式でも３次式でも４次式でもかまいません。ここでは例として、"P(x)＝x²＋bx＋c"としているだけです。

"P(x)＝x²＋bx＋c"の意味は、"x＝１"のときは"P(１)＝１＋b＋c"となりますし、"x＝k"のときは"P(k)＝k²＋bk＋c"となります。これは２次関数の単元でやった"f(x)"と同じ考え方ですね。


ここで、整式の割り算について考えます。整式P(x)を、"x−a"で割ったときの商をQ(x)、余をRとします。このとき

P(x)＝Q(x) (x−a)＋R

と表せますね。わからない人は、１０を３で割ったとき、商が３で余が１となることを考えてみましょう。

１０＝３×３＋１

と表せますよね。これと同じです。


さて、"P(x)＝Q(x) (x−a)＋R"に"x＝a"を代入してみます。

P(a)＝Q(a) (a−a)＋R＝R

これで何がわかるかというと、整式P(x)を、"x−a"で割ったときの余りRは、R＝P(a)ということがわかります。大切なのでもう１度言います。



これが剰余の定理です。
整式の面倒くさい割り算をわざわざせずに、余りだけを求めたいときに有効です。






P(x)＝３x³−２x²＋４x＋３とします。剰余の定理より、P(x)を"x−２"で割ったときの余りRは、"R＝P(２)"となります。

P(２)＝３・２³−２・２²＋４・２＋３＝２４−８＋８＋３＝２７

余りは"２７"です。



P(x)＝２x³−x＋４とします。剰余の定理より、P(x)を"x−３"で割ったときの余りRは、"R＝P(−３)"となります。

P(−３)＝２・(−３)³−(−３)＋４＝−５４＋７＝−４７

余りは"−４７"です。